A equação de Klein-Gordon

 Sabemos que a equação de Schroedinger seria a segunda lei de newton para a mecânica quântica, entretanto esta equação descreve partículas não relativísticas, apresentaremos a primeira tentativa de fazer um tratamento relativístico a equação de Schroedinger.

 A equação de Klein-Gordon é a versão relativística da equação de Schroedinger, esta equação foi nomeada aos físicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a propuseram no ano de 1927 para descrever partículas relativistas, entretanto descreve partículas sem spin.

 

 

-ħ² 𝖉²/𝖉²t² 𝛹 = (-ħ²c²⍢² +m²c^(4))𝛹



 A energia está relacionada com o momento linear

p_(𝜇)p^(𝜇) = m²c²

 Apesar desta equação ter sido abandonada hoje em dia, ela é de grande importância, pois foi a partir dela que surgiu a equação de Dirac, mas a pergunta é, qual as razões que fizeram abandonar esta equação?
 Primeiramente confrontamos o problema de interpretar a raiz quadrada de um operador, sabendo que E² = p²c² + m²+c^(4) e H=sqrt(p²c² + m²+c^(4)), podemos iterar a equação de Schroedinger e observar que o [iħ𝖉/𝖉t, H] = 0, então temos

[㇔ + (mc/ħ)²]𝛹 = 0

onde ㇔ = 𝖉_(𝜇)𝖉^(𝜇).
 Este problema de interpretação então se revolve, os problemas que introduzimos no problema, as soluções de energia negativa também são soluções da equação acima. Na mecânica quântica relativística, a interpretação de soluções com energia negativa está relacionado com as antipartículas.
 Mas não foi a existência de soluções com energia negativa que levou ao abandono da equação de Klein-Gordon, mas sim o seu entendimento quanto a densidade de probabilidade

𝜌 = (𝛹*(𝖉𝛹/𝖉t) - (𝖉𝛹/𝖉t)𝛹*)/c²



 Nesta equação 𝜌 não pode ser interpretado como densidade de probabilidade por não ser definida positiva, e por esta razão a equação foi abandonada.
 Esta equação de fato pode-se apresentar como uma boa equação relativista para partículas sem spin, portanto não podendo explicar onde certos efeitos de spin importantes como os níveis do átomo de hidrogênio. A equação teve um papel fundamental, através de seus problemas, fazendo com que Dirac pode-se propor uma outra equação.


Referências:






• GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 2.e d., Prentice-Hall, 2005.
• Robert Eisberg, Robert Resnick,.Quantum Physics of Atom, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles, 2nd edition, John Wiley & Sons, 1985• HEWITT, P. G., Conceptual Physics. 12 ed. San Francisco: Pearson Education, Inc., 2015.