Equação de Dirac - a mais bela equação

 Motivado pelo severos problemas na equação de Klein-Gordon, Paul Dirac em 1928 propõe a equação de onda agora com abordagem relativística, para descrever certas partículas com spin, como o elétron.

 A ideia inicial de Dirac era produzir uma equação que descrevesse o elétron de forma consistente comparado as equações já existente na época, mas o que existia na época era a equação de Klein-Gordon, que que envolvia duas derivadas, massa do elétron ao quadrado para descrever o elétron. Dirac guiado puramente por ideias teóricas, conseguiu mudar o nosso entendimento sobre a natureza. A equação de Dirac respondia a diversas perguntas, como estabilidade da matéria, a polarização da luz, dentre outras.

 Primeiramente Dirac queria conciliar a relatividade com a mecânica quântica, que para época eram coisas diferentes, antes tinha somente a mecânica quântica com Paulli e depois o aparecimento de Klein e Gordon. Então Dirac partiu da equação de Klein-Gordon, ele de cara já achava dois problemas: uma erroneamente, dizia que equações de segunda ordem não podem ter significado quântico; e a segunda sendo a equação pode descrever soluções com carga negativa e também positiva, se isso fosse verdade poderia existir uma transição quântica onde um elétron com carga negativa poderia mudar de carga e torna-se positivo.

 Matematicamente Dirac queria "tirar a raiz quadrada" do operador de Klein-Gordon, mas isso não é uma tarefa simples pois o tempo e o espaço é tratado de forma única. Sendo assim ele buscou uma equação linear de derivadas, mas só usando isso a equação também não serve pois também viola as simetrias da relatividade restrita

 Repentinamente, com a ideia de combinação linear, Dirac introduziu 𝛾 (gamma) sendo matrizes 4x4
sendo as matrizes da forma:

 

 

 Assim essa equação é compatível com a relatividade, além disso a função de onda teria de ser um quadrivetor, ao fazer teste obteve sucesso imediato, ao tomar a equação e assumir que as velocidades são muito pequenas, no limite não relativístico, das quatro informações da função de onda, somente duas são relevantes e estas duas informações retomam a equação que Paulli tinha antigamente com o fator 2.

 Dirac não propõe um novo modelo do elétron mas define uma nova propriedade da matéria como consequência direta da união da mecânica quântica e a teoria da relatividade. A existência do spin tem diversas consequências, que abordaremos em outro tópico.

 Porém, existe uma pergunta agora, e quanto as outras duas componentes da função de onda?  Elas referem-se a descrição de soluções com energia negativa e carga oposta a do elétron. Não podemos simplesmente descarta-las, então nesse caso um elétron com energia positiva poderia emitir um fóton e virar uma partícula com energia negativa, Dirac cita este problema em seu próprio artigo e rejeita parte da solução e utilizou apenas metade que eram boas para o spin. Claro que a discussão sobre energia negativa não era o objetivo desse artigo.

  Vale ressaltar que em 1933, Erwin Schrödinger e Paul Adrien Maurice Dirac ganharam o prêmio Nobel pela descoberta de novas formas produtivas da teoria atômica.

 Curiosidade: Em 2016, houve uma pesquisa da BBC, dentre os físicos e matemáticos qual seria a equação mais bela já publicada, a equação de Dirac foi a vencedora.

Referências


 - GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 2.e d., Prentice-Hall, 2005.